在笛卡儿系统地阐述现代解析几何基础的同时，另一位法国数学天才费尔马(Pierrede Fermat)也注意到这门学科．费尔马要求承认是他发明解析几何的理由是：他在1636年9月给罗伯瓦的一封信中说到，他有这个概念已经七年了．在他死后发表的论著《平面和立体的轨迹引论》(isogoge ad locus planos et solidos)中，记载了这项工作的一些细节．在这里，我们见到了一般直线和圆的方程，以及关于双曲线、椭圆、抛物线的讨论．在一部1637年前完成的、关于切线和求面积的著作中，费尔马解析地定义了许多新的曲线．笛卡儿只提出了很少几种由机械运动生成的新曲线，而费尔马则提出了许多以代数方程定义的新曲线．曲线xmyn=a，yn=axm和rn=aθ，现在还被称作费尔马的双曲线(hyperbolas)、抛物线(parabolas)和螺线(spirals of Fermat)．费尔马还和别人一起提出了后来被称作阿涅泽的箕舌线(witch of Agnesi)的三次曲线；这曲线是以阿涅泽(Mati- a Haetana Agnesi，1718—1799)的名字命名的，她是一位多才多艺的妇女，是杰出的数学家、语言学家、哲学家和夜游病患者．这样，在很大程度上，笛卡儿从一个轨迹开始然后找它的方程，费尔马则从方程出后，然后来研究轨迹．这正是解析几何的基本原则的两个相反的方面．费尔马的著作用的是韦达的记号，并且因此，与笛卡儿的较为现代的记号相比，有点象古文．

有一个看来可靠的报告说，费尔马在1601年8月17日出生于图卢兹附近的博芒特．德．洛马格内．他在1665年1月12日死于卡斯特尔或图卢兹，这是人们都知道的．他的墓碑，原来在图卢兹的奥古斯丁教堂，后来移到当地的博物馆；在墓碑上写着上述的死的日期和死时的年龄：五十七岁．但是，这与通常标出的费尔马生卒年(1601？—1665)相抵触．事实上，不同的作者对费尔马的出生年有不同的说法(当然都有其理由)：从1590年到1608年，不等．

费尔马是一个皮革商的儿子，童年是在家里受的教育．三十岁，他得到图卢兹地方议会辩护士的职位．在那里，他谦虚谨慎地干他的工作．他在当卑微的律师时，把自己大量的业余时间用于数学研究．虽然他一辈子发表的著作不多，但他和同时代的许多第一流数学家有科学上的通信关系，并且以这种方式给他的同行以相当大的影响．他以那么多的重要贡献丰富了那么多的数学分支，以致曾被称作十七世纪最伟大的法国数学家．

在费尔马对数学的多种多样的贡献中，最杰出的是对现代数论的奠基．在这个领域中，费尔马有非凡的直觉和能力．最初吸引费尔马注意数论的，也许是梅齐利亚克(Bachetde Meziriac)1621年翻译的丢番图《算术》(Arithmetica)的拉丁文译本．费尔马在此领域的许多贡献就写在他的梅齐利亚克译作手抄本的页边上．1670年，在他死后五年，这些笔记由他的儿子萨穆埃尔(Clement—Samuel)编入《算术》新版(印得不大仔细)发表．许多由费尔马宣布的未被证明的定理，后来已被证明是正确的．现举例说明费尔马的研究趋向：

1．如果p是素数，并且a与p互素，则ap-1-1可被p整除．例如，如果p=5，a=2，ap-1-1=15=(5)(3)．此定理被称作费尔马小定理(little Fermat theo-rem)，是费尔马在1640年10月18日给德贝西(Frenicle de Bessy)的信中给出的，未作证明．欧拉于1736年发表了第一个关于费尔马小定理的证明(参看问题研究10．5)．

2．每一个奇素数可用且仅可用一种方式表为两个平方数之差．费尔马对此命题给了一个简单证明．如果p是一个奇数，则我们容易证明

另一方面，如果p=x2-y2，则p=(x+y)(x-y)．但是，因为p是素数，它只有因数p和1．因此，x+y=p和x-y=1，或x=(p+1)/2和y=(p-1)/2．

3．一个形式为4n+1的素数可以表成两个平方数之和．例如，5=4+1，13=9+4，17=16+1，29=25+4．此定理是费尔马在1640年12月25日给梅森的信中最先指出的．欧拉于1754年首先证明了它，并且还证明了这种表达式的唯一性．

4．一个形式为4n+1的素数，作为整数边直角三角形的斜边，仅有一次；其平方有两次；其立方有三次，等等．例如，5=4(1)+1，这时有52=32+42；252=152+202=72+242；1252=752+1002=352+1202=442+1172．

5．每一个非负整数可以表成四个或少于四个平方数的和．这个难证的定理是1770年由拉格朗日证明的．

6．整数边直角三角形的面积不能是一个平方数．这也是后来由拉格朗日证明的．

7．x2+2=y3只有一个整数解；x2+4=y3只有两个整数解．这是向英国数学家们提出的一个竞赛题．第一个方程的解是x=5，y=3；第二个方程的解是x=2，y=2和x=11，y=5．

8．不存在正整数x，y，z，使得x^4+y^4=z2．

9．不存在正整数x，y，z，n，使得xn+yn=zn(当n＞2时)．这个著名的猜想，称为费尔马最后“定理”(Fermat’s last“theorem”)．费尔马把它写在丢番图的梅齐利亚克译本的手抄本第二卷问题8的旁边，这个问题是：“分一给定的平方数为两个平方数．”费尔马的页边评注断定：“分一立方数为两个立方数，分一个四次幂(或者一般地，任何次幂)为两个同次幂，这是不可能的：我确实找到了一个巧妙的证明，但是页边太窄，写不下．”费尔马是否真有此问题的一个完善的证明，也许将永远是个谜！从那时起，许多卓越的数学家曾在此问题上试验他的技巧，但是这一般的猜想，至今仍然期待人们去解决．在别处，费尔马对n=4的情况给出了一个证明：欧拉给出了一个n=3的情况的证明(后来由别人加以完善)．大约1825年，勒让德和狄利克雷独立地对于n=5的情况给出了证明；拉梅于1839年对于n=7证明了此定理．德国数学家库默尔(E．Kummet．1810—1893)对此问题的研究作了有意义的推进．1843年，库默尔向狄利克雷提交了一个书面说明，后者指出了其推理中的一个错误．库默尔回过来重新研究它，又过了几年，在称作理想数理论(The theory of ideals)的高等代数中发展一个与之相联系的重要课题，为费尔马关系式的不可解性导出很一般的条件．现在知道：费尔马的最后“定理”，对于n＜125，000和许多别的特殊的n值，确实成立．1908年，德国数学家瓦尔夫斯克尔给哥廷根科学院留下十万马克，作为这个“定理”的第一个完全证明的奖金．结果，追求名利者提出的证明纷至沓来，并且从那以后，这个问题的业余爱好者简直到处都有，就象对于三等分角和化圆为方问题一样，费尔马的最后“定理”作为数学问题而享有盛名，原因就在于：对于它，已经发表了许多错误证明．

10．费尔马的猜想：对于所有非负数n，f(n)=22n+1是素数．这个猜想已被证明是错误的；欧拉证明了：f(5)是合数．已知：对于5≤n≤16和n的至少四十七个其它值(也许最大的是n=1945)，f(n)是合数．f(5)，f(6)和f(8)的素因子已找到；f(9)的一个素因子已找到．

1879年，在莱顿的图书馆中，在C．惠更斯手稿中间，发现一篇论文，其中，费尔马讲到一种一般方法——他可能曾用它作出他的许多发现．这方法被称作费尔马的无限递降法(method of infinite descent)对于确立否定的结论很有用．这方法，简单地说，是这样的：为了证明与正整数相联系的某关系式是不可能的，假定：反过来，该关系式被一些正整数的特定集合满足．从这假定出发，证明：同样的关系式对另一较小的正整数的集合成立．于是，再用同方法证明：该关系式对于另一个更小的正整数集合成立，等等以至无穷．因为正整数不能无限减小，所以，开始的假定是站不住脚的，因而，原来的关系式不能成立．为了弄清这b是正整数．

我们已经讲过，帕斯卡与费尔马的通讯关系为概率论奠了基．应该记得：它是从所谓得分问题(porblem or the points)开始的：“在两个被假定有同等技巧的博弈者之间，在一个中断的博弈中，如何来确定赌金的划分，已知两个博弈者在中断时的得分及在博弈中获胜所需要的分数．”费尔马讨论了一个博弈者A需要2分获胜，另一个博弈者B需要3分获胜的情况．这是费尔马对于此种特殊情况的解．因为，显然最多四次就能决定胜负，令a表示A胜，b表示B胜，考虑a和b两个字母每次取4个的16种排列：

aaaa aaab abba bbab

baaa bbaa abab babb

abaa baba aabb abbb

aaba baab bbba bbbb

a出现等于或多于2次，则A获胜：有11种情况是这样的．b出现等于或多于3次，则B获胜；有5种情况是这样的．所以，赌金应以11∶5的比例划分．对于一般情况：A需要m分获胜，B需要n分获胜，我们能写出a、b两个字母每次取m+n-1个的2m+n-1种排列．然后，我们找a出现等于或多于m次的α种情况，和b出现等于或多于n次的β种情况．所以，赌金应以α∶β的比例划分．

帕斯卡利用其“算术三角形”解得分问题，在9．9节中讲过．令C(n，r)表示从n件中每次取r件的组合数[参看问题研究9．13(g)]，我们能容易地证明：“算术三角形”的第五条对角线上的数分别为：

C(4，4)=1，C(4，3)=4，C(4，2)=6，C(4，1)=4，C(4，0)=1．

因为，回到上面讲的特殊的得分问题，C(4，4)是得4个a的方式数，C(4，3)是得3个a的方式数，等等；由此得出：此问题的解为：

[C(4，4)+C(4，3)+C(4，2)]∶[C(4，1)+C(4，0)]=(1+4+6)∶(4+1)

=11∶5

对于一般情况，A需要m分获胜，B需要n分获胜，我们选择帕斯卡算术阵的第(m+n)条对角线．然后，我们求此对角线的前n个数的和α和此对角线的最后m个数的和β．于是，赌金应依α∶β的比例划分．

帕斯卡和费尔马在他们1654年的有历史意义的通信中考虑到有关得分问题的其它问题，例如，当博弈者超过两个时，或两个博弈者的技巧参差不齐时，赌金该如何划分．帕斯卡和费尔马的这个工作开数学概率论之先河．惠更斯(Christiaan Huygens，1629—1695)写关于概率论的第一篇正式论文，就是以帕斯卡—费尔马的通信为基础的．雅科布．伯努利(Jakob Bernoulli，1654—1705)的《猜测术》(Ars conjectandi)在他死后1713年才出版；这部书是这门学科的最优讲述，它包括惠更斯的较早的论文．继这些先行者之后，促进此学科发展的有：棣莫费尔(De Moivre，1667—1754)，丹尼尔．伯努利(Daniel Bemoul-li，1700—1782)，欧拉(1707—1783)，拉格朗日(1736—1813)，拉普拉斯(1749—1827)，和一大批其他数学家．

引人入胜并且有些令人惊异的是：数学家们居然有能力发展这样一门学科(即，数学概率论)，它证明的理性的定律能被应用于纯属机遇的场合．这门学科远不是不实际的：通过大试验室中进行的实验，通过与概率有密切关系的保险公司的存在，并通过大商业和战争的推理计算，表明了这一点．

我们在下一章(11．7节)中还要回过来讲费尔马：在那里，讲他将无穷小用于几何(尤其是他在极大值、极小值方面的工作)；就凭这一点，他成了微积分的一位重要的先驱．