级数

series

将数列un的项 u1，u2，…，un，…依次用加号连接起来的函数。数项级数的简称。如：u1＋u2＋…＋un＋…，简写为un称为级数的通项，记称之为级数的部分和。如果当m→∞时 ，数列Sm有极限S，则说级数收敛，并以S为其和，记为否则就说级数发散。级数是研究函数的一个重要工具，在理论上和实际应用中都处于重要地位，这是因为：一方面能借助级数表示许多常用的非初等函数， 微分方程的解就常用级数表示；另一方面又可将函数表为级数，从而借助级数去研究函数，例如用幂级数研究非初等函数，以及进行近似计算等。级数的收敛问题是级数理论的基本问题。从级数的收敛概念可知，级数的敛散性是借助于其部分和数列Sm的敛散性来定义的。因此可从数列收敛的柯西准则得出级数收敛的柯西准则 ：收敛任意给定正数ε，必有自然数N，当n＞N时 ，对一切自然数  p，有｜un+1＋un+2＋…＋un+p｜＜ε，即充分靠后的任意一段和的绝对值可任意小。

如果每一un≥0（或un≤0），则称为正（或负）项级数，正项级数与负项级数统称为同号级数。正项级数收敛的充要条件是其部分和序列Sm 有上界，例如 收敛，因 为  有无穷多项为正，无穷多项为负的级数称为变号级数，其中最简单的是形如  的级数，称之为交错级数。判别这类级数收敛的基本方法是莱布尼兹判别法 ：若un  ≥un+1 ，对每一n∈N成立，并且   ，则交错级数收敛。例如

收敛。对于一般的变号级数如果有收敛，则称变号级数绝对收敛。如果只有  收敛，但是发散，则称变号级数条件收敛。例如绝对收敛，而只是条件收敛。

如果级数的每一项依赖于变量 x，x 在某区间I内变化，即un＝un（x），x∈I，则称为函数项级数，简称函数级数。若x＝x0使数项级数收敛，就称x0为收敛点，由收敛点组成的集合称为收敛域，若对每一x∈I，级数都收敛，就称I为收敛区间。显然，函数级数在其收敛域内定义了一个函数，称之为和函数S（x），即如果满足更强的条件，在收敛域内一致收敛于S（x）。

一类重要的函数级数是形如的级数，称之为幂级数 。它的结构简单 ，收敛域是一个以为中心的区间（不一定包括端点），并且在一定范围内具有类似多项式的性质，在收敛区间内能进行逐项微分和逐项积分等运算。例如幂级数的收敛区间是，幂级数的收敛区间是[1，3]，而幂级数在实数轴上收敛。